函数极限的性质证明(精选多篇)

第一篇：函数极限的性质证明

函数极限的性质证明

x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|xn+1-a|<|xn-a|/a

以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;

|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;

……

|x2-a|<|x1-a|/a;

向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)

2

只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

设x(k)<4，则

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3

当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

4

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第二篇：函数极限的性质

§3.2 函数极限的性质

§2函数极限的性质

ⅰ. 教学目的与要求

1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.

2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.

ⅱ. 教学重点与难点:

重点: 函数极限的性质.

难点: 函数极限的性质的证明及其应用.

ⅲ. 讲授内容

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。 4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.

定理3．2(唯一性)若极限limf?x?存在，则此极限是唯一的． x?x0

证设?,?都是f当x?x0时的极限，则对任给的??0，分别存在正数

?1与?2，使得当0?x?x0??1时有

f?x????? ，(1)当0?x?x0??2时有

f?x????? ，(2)

取??min??1,?2?，则当0?x?x0??时，(1)式与(2)式同时成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，这就证明了极限是唯一的.

定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，则f在x0的某空心邻域u0?x0?内有界． x?x0

证设limf?x???．取??1，则存在??0使得对一切x?u0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

这就证明了f在u0?x0;??内有界．

定理3．4(局部保号性)若limf?x????0 (或?0)，则对任何正数r??（或x?x0

r???)，存在u0?x0?，使得对一切x?u0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

证设??0，对任何r?(0,?)，取????r，则存在??0，使得对一切

x?u0?x0;??

f?x??????r，

这就证得结论．对于??0的情形可类似地证明．

注在以后应用局部保号性时，常取r?a．2

x?x0定理3．5(保不等式性)设limf?x?与都limg?x?都存在，且在某邻域u0x0;?'内x?x0??

有f?x??g?x?则

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

证设limf?x?=?，limg?x?=?，则对任给的??0，分别存在正数?1与?2使x?x0x?x0

得当0?x?x0??1时有

????f?x?， 当0?x?x0??2 时有

g?x?????

令??min?',?1,?2，则当0?x?x0??时，不等式f?x??g?x?与(4)、(5)两式同时成立，于是有

????f?x??g?x?????

从而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫敛性)设limf?x?=limg?x?=ａ，且在某u0x0;?'内有 x?x0x?x0????

f?x??

则limh?x???． x?x0h?x??g?x?

证按假设，对任给的??0，分别存在正数?1与?2，使得当0?x?x0??1时有，2

????f?x?(7)当0?x?x0??2时有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2，则当0?x?x0??时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立， 故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?

定理3．7（四则运算法则）若极限limf?x?与limg?x?都存在，则函数 x?x0x?x0

f?g,f?g当x?x0时极限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0

2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0

又若limg?x??0，则f|g当x?x0时极限存在，且有 x?x0

3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习．

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限．

例 1求limx??x?0?x?

解当x?0时有

1?x?x???1， ?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫敛性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面，当x?0有1?x???1?x，故又由迫敛性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?

综上，我们求得lim x???1 x?0?x?

3 ?1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及§1例4所得的， cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs， ?2x?4

并按四则运算法则有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1 4

例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??

解 当x?1?0时有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的极限等于

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4证明lima?1?a?1? x

x?0

证任给??0 (不妨设??1)，为使

xa?1??（9）

即1???a?1??，利用对数函数loga

loga?1????x?loga?1???

于是，令x（当a?1时）的严格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????， 则当0?x??时，就有(9)式成立，从而证得结论．

ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.

ⅴ 课外作业: p51 2、3、5、7、8、9.

第三篇：§2函数极限的性质

《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院

§2 函数极限的性质

教学章节：第三章函数极限——§2 函数极限的性质

教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点：函数极限的性质及其计算.

教学难点：函数极限性质证明及其应用.

教学方法：讲练结合.

教学过程：

引言

在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：

1、limf(x)；2、limf(x)；3、limf(x)；4、limf(x);5、limf(x)；6、limf(x).

x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf(x)为代表来叙述并证明这些性质.至

x?x0

于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.

一、函数极限的性质

性质1（唯一性） 如果x?a

limf(x)x?alimf(x)存在，则必定唯一. 证法一设?a，x?alimf(x)?b,则

???0,??1?0,当0?|x?a|??1时，

|f(x)?a|??,(1)

??2?0,当0?|x?a|??2时，

|f(x)?b|??.(2)

??min??1,?2?取

因而有 ，则当0?x?a??时（1）和（2）同时成立.

a?b?(f(x)?a)?(f(x)?b)?f(x)?a?f(x)?b?2?,(3)

由?的任意性，（3）式只有当

a?b?0

时，即a?b时才成立.

a?b2

证法二反证,如x?a

0?x?a??

limf(x)

?a

，x?a

limf(x)?b

且a?b，取

?0?

，则???0，使当

时，

f(x)?a??0,f(x)?b??0

,

即

a?b2

?a??0?f(x)?b??0?

a?b2

矛盾.

性质2（局部有界性） 若limf(x)存在，则f在x0的某空心邻域内有界.

x?x0

limf(x)?a

??1x?x0证明取, 由 , ???0, 当0?x?x0??时, 有f(x)?a?1,

即

f(x)?a?f(x)?a?a?1

，

a?1

说明f(x)在u0(x0;?)上有界，就是一个界.

limf(x)?b

x?a

性质3（保序性） 设，x?a

limg(x)?c

.

0?x?a??0???0

1）若b?c，则0，当时有f(x)?g(x)；

0?x?a??0

2）若

??0?0

，当

时有f(x)?g(x)，则b?c.（保不等式性）

证明1） 取

?0?

b?c2

即得.2）反证，由1）即得.

注若在2）的条件中, 改“f(x)?g(x)”为“f(x)?g(x)”,未必就有

a?b.以 f(x)?1?x,g(x)?1,x0?0

举例说明.

推论（局部保号性） 如果x?a

号.

limf(x)?b

0?x?a??0???0

且b?0，则0使当时f(x)与b同

性质4（迫敛性） 设limf(x)?limh(x)?a，且在某u0(x0;??)内有f(x)?g(x)?h(x)，

x?x0

x?x0

则limh(x)?a.

x?x0

证明???0, 由x?x

limh(x)?a

limf(x)?a

，??1?0，使得当0?x?x0??1时，

有f(x)?a??，即 a???f(x)?a??.又由

x?x0

，??2?0，使得当0?x?x0??2时 ，有h(x)?a??，

即a???h(x)?a??.

令??min(?1,?2)，则当0?x?x0??时，有a???f(x)?g(x)?h(x)?a??

limg(x)?a

即g(x)?a??，故 x?x.

性质6（四则运算法则） 若limf(x)和limg(x)都存在，则函数f?g,fg当x?x0时极限

x?x0

x?x0

也存在，且 1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)；2）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x).

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

又若limg(x)?0，则

x?x0

fg

当x?x0时极限也存在，且有 3）lim

f(x)g(x)

x?x0

?

x?x0

limf(x)

x?x0

limg(x)

.

3）的证明 只要证有

x?x0

lim

1g(x)

b2

?

1b，令

?0?

b2

?0

，由

x?x0

limg(x)?b

b2

0?x?x0??1

，??1?0使得当时，

b2

g(x)?b?

， 即

g(x)?b?g(x)?b?b??

.

g(x)?b?

b2

???0

,仍然由

x?x0

limg(x)?b

??2?0, 使得当0?x?x0??2时，，有

?

.

0?x?x0??

取??min(?1,?2)，则当时，有

1g(x)

?1b?

g(x)?bg(x)b

?

2b

g(x)?b?

2b

?

b2

???

即

x?x0

lim

1g(x)

?

1b.

二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限

利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：

limc?c,limx?x0,limsinx?sinx0,limcosx?cosx0;

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

lim

1x

x??

?0,limarctgx??

x???

?

.（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）

这些极限可作为公式用.

在计算一些简单极限时,利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例1 求limx??.

x?0

?x?

?1?

例2 求lim?

(xtgx?1).

x?

例3 求lim(

1x??1

x?1

?

3x3

?1

).

例4lim

5x?3x?73x3

?2x2

?5

.

x??

注关于x的有理分式当x??时的极限.参阅[4]p37. 7

例5lim

x?1n

x

10利用公式x?1

?1

.[a?1?(a?1)(a

n?1

?a

n?2

???a?1)

].

例6lim

x?2x?2?1x?1

x2

?x?2

.

例7lim

2x?

3x?1

x???

3x?5

.

例8lim

xsin(2x?x?10)

3?2x

.

x??

例9lim

?x?1.

x?0

?x?1

例10已知 lim

x?16?a参阅[4]p69.

x?3

x?3

?b.求 a和b.作业教材p51—521 -7，8(1)(2)(4)(5)； 2

补充题已知lim

x?ax?b7.求a和b.(a??

16x?2

x2?4

?b?3

,b?

203

.)

例11lim??2?x2?ax?b?

??0.x????1?x

?求a和b. ?

2解法一

2?x

?ax?ax

1?x

?ax?

2?x1?x

?

?(a?1)x2

?ax?2

1?x

?b,(x??).

?a?1?0,a??1;又 ?a?b,?b?1.

解法二2?x2

1?x?ax?b?x ??? 2?x2?a?b?

?，?x?x

2x? 由x??且原式极限存在(本文 来自www.)， ??

2?x2x?x

?a?b

x?0，即 a?lim??2?x2?b?

???1,b?lim??2?x2?x???1x???. ?x?x2x??x????1?x??

第四篇：2 函数极限的性质

§2 函数极限的性质

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：

1）；2）；3）；

4）；5）；6）。

它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。

至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若极限

证设与、都是当 存在，则此极限是唯一的。 时的极限，则对任给的，

分别存在正数，使得当

时有

（1）

当

时有

（2） 取，则当时，（1）式与 (2) 式同时成立，故有

由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。

定理3.3（局部有界性） 若极限

内有界。存在，则在某空心邻域

证设

。取，则存在，使得对一切

。

有

这就证明了在内有界。

定理3.4（局部保号性）若（或

），存在，使得对一切

有

（或），则对任何正数

（或

证 设

有

，这就证得结论。对于，对任何

，取

，则存在

）。

，使得对一切

的情形可类似地证明。

定理3.5（保不等式性）设

内有

，则

与

都存在，且在某邻域

。（3）

证 设，使得当

，时

，则对任给的，分别存在正数与

（4）

当

时有

（5）

令

，则当

时，不等式

与（4）,

（5）式同时成立，于是

有式成立。

，从而

。由的任意性得

，即（3）

定理3.6（迫敛性）设==，且在某内有

（6）

则

。

证 按假设，

对任给的

，分别存在正数

与

，使得当

时

（7）

当

时有

（8）

令

式同时成立，故有

，则当

时，不等式（6）、（7）、（8）

，由此得

，所以。

定理3.7（四则运算法则）若极限，

当

与

都存在，则函数

时极限也存在，且

1）

=

2）

=

又若，则当时极限也存在，且有

）

这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。

例1求。

解 由第一章§3习题13，当 时有

，而

，故由迫敛性得

。

另一方面，当时有

，故由迫敛性又可得

。

综上，我们求得

。

例2 求。

解由

及§1例4所得的

并按四则运算法则有

=

例3 求

解 当 时有

。

故所求极限等于

。

例4证明证任给

（不妨设

），为使

（9）

即

，利用对数函数

（当

时）的严格增性，只要

于是，令

成立，从而证得结论。

，则当时，就有（9）式

第五篇：函数极限的证明

函数极限的证明

(一)时函数的极限：

以时和为例引入.

介绍符号:的意义,的直观意义.

定义(和.)

几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

例1验证例2验证例3验证证……

(二)时函数的极限：

由考虑时的极限引入.

定义函数极限的“”定义.

几何意义.

用定义验证函数极限的基本思路.

例4验证例5验证例6验证证由=

为使需有为使需有于是,倘限制,就有

例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:

1.定义：单侧极限的定义及记法.

几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

th类似有:例10证明:极限不存在.

例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

=§2函数极限的性质(3学时)

教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：

我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

二、讲授新课：

(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保号性:

4.单调性(不等式性质):

th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)

註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

5.迫敛性:

6.四则运算性质:(只证“+”和“”)

(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：

(注意前四个极限中极限就是函数值)

这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

例1(利用极限和)

例2例3註:关于的有理分式当时的极限.

例4

例5例6例7